Resonant Circuits for Wireless Power Transfer

一、前言

本專題主要在探討近場傳輸中，透過諧振磁耦合電路來達成無線傳能的方法。 儘管無線傳能的設計已有諸多文獻可以參考，卻較少有從原理開始從頭分析，乃至設計線圈阻抗與幾何形狀的論文。 故本次專題即是建立在諸多研究上，期望透過整合不同人設計線圈的方式，配合理論與實務，完成近場磁耦合之無線高效傳能線圈的設計。

二、原理分析與系統設計

2.1 原理分析

諧振磁耦合 (magnetic resonant coupling) 是用於無線傳能 (wireless power transfer, or WPT) 中很常見的技術， 它透過一組或多組的線圈來傳遞能量，並藉由調變其 RLC 阻抗來達成阻抗匹配，使得兩邊的諧振頻率 (resonant frequency) 相同，以提高其能量傳輸效率 (power transfer efficiency, or PTE)。 其簡易螺線管模型如下圖 1-a，power source 將能量傳入主線圈 (primary coil, L1)，並透過磁場耦合至次線圈 (secondary coil, L2)，最後送至負載端。 其能量傳輸的距離與效率取決至耦合係數 (coupling coefficient, k)。 一般來說，兩線圈之互感 (mutual inductance, M) 可經由 Biot-Savart Law 推導為以下關係式：

$M_{xy} \approx \dfrac{\pi \mu\:N_x\:N_y\:r^2_x\:r^2_y}{2\:(d^2_{xy}-r^2_y)^{3/2}}\:;\; Here\: x,y = 1,2,...,n$

其中，$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} H \cdot m^{-1}$ 為真空中的磁導率 (permeability)，$N_x N_y$ 為兩線圈之匝數。 我們可以進一步將互感與耦合係數改寫成以下關係式：

$M = k_{12}\sqrt{L_1 L_2}$

藉由上述公式，便可以簡易推導耦合係數與線圈的距離、形狀等幾何關係。

Fig. 1. (a) Simply block diagram of a two-coil resonant WPT system.
(b) Two coaxial single-turn filament rectangular coils' configuration.

若耦合線圈為矩形 (如上圖 1-b)，可以透過優先推導單邊導線對線圈所產生的磁通，再將四邊導線相加，即可獲得單位電流下的互感值。 其中單邊導線 CD 所產生之互感可推導為以下之關係式：

$\small M_{CD-z} = \dfrac{\mu}{2\pi} \;[ \sqrt{(b_i+d_j)^2+z^2+(a_i+c_j)^2}-(a_i+c_j) \cdot \tanh^{-1} \dfrac{a_i+c_j}{\sqrt{(b_i+d_j)^2+z^2+(a_i+c_j)^2}}$

$\small \qquad \qquad - \;\sqrt{(b_i+d_j)^2+z^2+(a_i-c_j)^2}+(a_i-c_j) \cdot \tanh^{-1} \dfrac{a_i-c_j}{\sqrt{(b_i+d_j)^2+z^2+(a_i-c_j)^2}}$

$\small \qquad \qquad - \;\sqrt{(b_i-d_j)^2+z^2+(a_i+c_j)^2}+(a_i+c_j) \cdot \tanh^{-1} \dfrac{a_i+c_j}{\sqrt{(b_i-d_j)^2+z^2+(a_i+c_j)^2}}$

$\small \qquad \qquad + \;\sqrt{(b_i-d_j)^2+z^2+(a_i-c_j)^2}-(a_i-c_j) \cdot \tanh^{-1} \dfrac{a_i-c_j}{\sqrt{(b_i-d_j)^2+z^2+(a_i-c_j)^2}} ]$

除了上述之二線圈諧振電路，更常用的模型為四線圈電路，如下圖二。 透過一對 Transmitting (TX) coil 與 Receiving (RX) coil 來傳遞磁場能量。

Fig. 2. Simply block diagram of a four-coil resonant WPT system.

其等效電路如下圖三(a)。在線圈彼此距離夠大的情況下，遠端的互感相對較小，其耦合係數可以省略 (相關比較可參閱 ¹)。 在諧振頻率下，其等效電路整合如下圖三(b)，其中，因為阻抗匹配 ($Z_{in}=Z^\ast_L$)，透過 KVL 可推導得：

$\dfrac{k_{ST}\:k_{RD}}{k_{TR}} \approx 1$

Fig. 3. (a) Equivalent circuit model of a 4-coil resonant WPT system.
(b) Simplified circuit at the resonant frequency.

由以上公式搭配前文，即可以設計出四線圈諧振電路的模型。 然而必須注意的是，諧振電路存在頻率分裂 (frequency splitting) 的現象，當相圈彼此距離夠近時，諧振頻率會逐漸分裂並拉遠成高低頻兩半，如下圖四。 若我們透過 S 參數表達其傳輸效率 (S₂₁) 對頻率的關係，可以明顯看出隨著距離拉近，位在諧振頻率中間的效率顯著地下降，若要改善其現象，除了動態調變 RLC 值之外，就只能設計好傳輸頻率，以防止效率下滑過於嚴重。

關於頻率分裂的計算與探討，主要參考 ^{1 2}。

Fig. 4. Frequency splitting phenomenon in different distances.

2.2 系統設計

以上幾個重點即為 WPT 之諧振電路的設計基礎。 在本次專題中，除了理論分析外，也利用 ANSYS 公司出的 High Frequency Structure Simulator (HFSS) 軟體來進行線圈模擬(如下圖五)。 透過觀察其反射係數 (S11)、傳輸效率 (S21)、磁場分佈與諧振頻率之間的關係來設計電路，此流程不僅能夠實際模擬電路的磁場行為，對於功率轉換的結果也能有更清楚的認識。

Fig. 5. Four-coil resonant module in HFSS.

如下圖六、七即為四線圈模型在 distance=10mm 下於 HFSS 的模擬情形。

Fig. 6. H field of four-coil resonant module in HFSS.Fig. 7. S₂₁ of four-coil resonant module in HFSS with frequency splitting.

三、實驗結果

為了符合實際應用，本次實作預計將諧震頻率設計在 13.56MHz，即近距離無線通訊 (Near-field communication, or NFC) 的頻率，為了減少幾何形狀與寄生電容所產生的誤差，將匝數限制在單圈。 其線圈相關參數可參考下表一。

透過 Matlab 模擬以上電路，可以繪出基於不同頻率、距離所產生之 S₂₁ 值，如下圖 8-a 所示。 若將能量傳遞效率與傳輸功率對線圈距離作圖，可以繪出其關係如下圖 8-b 所示。 由兩張圖我們可以清楚發現，當線圈距離在 4 公分時，功率傳輸產生極大值，若將線圈繼續靠攏，則會產生頻率分裂現象，傳輸功率進而下降。

其實際電路如下圖九所示，透過一根直徑 1 mm 的銅線，我們可以做出兩個長寬為 10 cm 和 6 cm 的矩形線圈，符合一般手機充電模組之大小。 其測量結果如下圖十，由圖中可以清楚看見當頻率在 12 MHz 附近時，產生明顯的功率傳輸現象。

Fig. 10. The actual performance in different frequencies and distances.

四、結論

這次的專題主旨在透過研究無線傳能電路的原理和參數，包含不同幾何形狀的互感、最大功率轉移、頻率分裂等現象，設計出適合的模型並實際做出成品。 儘管因為等效電感、寄生電阻等問題，造成實際諧振頻率略有偏移，大方向的電路設計依然是成功的，唯效能問題尚無法完全改善，這有待更進一步的分析與檢討，才能調整出最適合的電路參數。

五、參考文獻